腾讯混元 Hyra 公布四项数学新进展：常数宽体下界升至 0.411040w³

8 月 19 日，腾讯混元官方 X 账号发推宣布，其开源模型 Hyra 自上次数学更新以来又取得四项数学进展。其中最醒目的一项来自三维 Blaschke–Lebesgue 问题：常宽体体积的普适下界从 0.380799w³ 提升到 0.411040w³，达到所猜想 Meissner 最优值的 97.9%。

其余三项是：Beurling–Ahlfors 变换的最佳一致 L^p 系数从 1.575 改进到 1.523958；Partial Hadamard 矩阵的渐近计数从立方尺度推进到近二次尺度；算子交换子逼近恒等式的代价从陶哲轩（Tao）的 O(log⁵(1/ε)) 降到 O(log³)。

推文称"We are making open-source models better at solving open problems!"（我们正在让开源模型更擅长解决开放问题），并附上结果链接。仓库里是四份论文，其中三份附有 Lean 4 形式化代码：。

从 0.380799w³ 到 0.411040w³，缺口填掉 77.4%

Blaschke–Lebesgue 问题问的是：三维空间中，宽度恒为 w 的凸体体积最小能到多少。平面情形在 1914 年和 1915 年分别由 Lebesgue 和 Blaschke 解决，最优点是 Reuleaux 三角形；三维情形仍是经典开放问题。

Bonnesen 与 Fenchel 猜想最小值由两个不全等的 Meissner 四面体取到，其体积为 0.419860045965080...w³。Hyra 的（署名 Hyra，落款 2026 年 8 月 15 日）证明，任意常宽 w 的凸体 K 都满足 Vol(K) ≥ c_cert·w³，其中 c_cert = (130838246407123/10¹⁵)π > 0.411040473721188。

此前的最好下界来自 Nishioka 的谱方法（），为 4π/33 ≈ 0.380799109526w³。以 Meissner 值计，新下界达到它的 97.8994%；按仓库 README 的口径，这填掉了剩余缺口的 77.4%。

摘要描述的方法包括：最小外接球的接触几何、常宽体特有的对径点恒等式、径向函数的散度估计，以及一个切线 majorant，其非负亏缺在八个互不相交的球冠上回收。

最后一步是计算机辅助验证，全部使用精确有理不等式完成，浮点运算只用来提出候选值，随后再精确复核。独立于计算机辅助部分，同一方法还给出解析下界 (533032/4143735)πw³ = 0.404120778796972...w³。Meissner 猜想本身仍未证明。

系数压到 1.523958，Iwaniec 猜想的 1 仍未触及

Beurling–Ahlfors 变换 Bf(z) = −(1/π)∫f(w)/(z−w)²dm(w) 是复平面上重要的奇异积分算子。Iwaniec 在 1982 年猜想其 L^p 算子范数恰为 p*−1（p* = max{p, p/(p−1)}），即系数 1；Bañuelos 与 Janakiraman 2008 年用共形鞅方法证明了系数 1.575 的一致上界。

Hyra 的（8 月 18 日稿）证明 ‖B‖_{L^p→L^p} ≤ 1.523958(p*−1) 对所有 1 < p < ∞ 成立，即 C_BA ≤ 1.523958。

方法结合热延拓表示与显式 Bellman 函数判据：一个双向运动学约束把漂移计算化约到单个负半定 2×2 矩阵，再在 p=16/3 与 p=15/2 处构造两个显式广义多项式 Bellman 剖面，端点估计包括 ‖B‖_{16/3} ≤ 22830^{3/16}。

漂移与 majorization 性质由精确多项式恒等式和有理不等式验证，再与 L² 等距和 Burkholder 型界插值得到最终常数。

计数临界指数降到 2，论文不认端点值

Partial Hadamard 矩阵是行两两正交的 ±1 矩形矩阵，介于正交符号系统与方阵 Hadamard 矩阵之间。设 N_{n,m} 为 n×m 这样的矩阵个数（m 为 4 的倍数）。

Hyra 的（署名 Haowei Lin，地址为 Tencent Hunyuan）证明，只要 m/(n²·log(2πm)) → ∞，就有 N_{n,m} = [1+o(1)]·2^{nm+(n−1)²}(2πm)^{−n(n−1)/4}·exp(−n(n−1)(2n−1)/(24m)) 一致成立；对任意固定 η>0，公式在 m/n^{2+η} → ∞ 范围内一致成立。

修正因子 exp(−n(n−1)(2n−1)/(24m)) 在立方尺度以下不可省略，它重求和了立方尺度的首阶修正。此前 Davis 在中证明了立方尺度 m ≍ n³ 及以上的精确展开，延续 De Launey–Levin 的 Fourier 分析框架与 Canfield 未发表的估计。

可允许幂律指数的下确界因此从 3 降到 2；论文明确说明不声称端点指数 2 处成立。证明逐行添加新行，把可接受下一行的个数写成 k 维 Fourier 积分，用精确正交恒等式、尺度截断与 Bernstein 界控制误差，并对每个 n≥2、m∈4ℕ 给出闭式误差界。

逼近恒等式的代价：O(log³) 对阵 Popa 下界

Wintner–Wielandt 定理说单位算子不可能是两个有界算子的交换子，Brown–Pearcy 定理说它可以被交换子任意逼近。量化问题是：逼近到误差 ε 内，代价 m_H(ε) = inf{‖D‖·‖X‖ : ‖[D,X]−1‖ ≤ ε} 最小是多少。

Popa 给出下界 m_H(ε) ≥ ½log(1/ε)；陶哲轩证明上界 O(log⁵(1/ε))。据仓库 README，该指数在被 Hyra 压低前已由 Bilich 先改进到 O(log⁴)（）。

Hyra 的（8 月 18 日稿）证明 m_H(ε) ≤ 5.3×10⁶·(log(1/ε))³，对 0 < ε ≤ ½ 一致成立，且适用于任意无穷维 Hilbert 空间，不要求可分。

方法保留陶哲轩的算子矩阵模板，把线性右逆的最坏情形估计换成逐点超解（supersolution）论证，关键输入是 [[a,b],[c,a]] 型矩阵的范数估计，解的大小为 O(δn)，δ ≍ n⁻³。

上线一个月，Hyra 交出的第二波数学更新

Hyra 是的缩写。7 月 21 日，宣布推出 Hyra-1.0，称其专为性能导向的研究与工程任务打造，能够递归自我改进。

据（搜狐转载），Hyra 采用轻量通用的 Harness 框架，以"生产者-消费者"异步流水线持续循环，基于历史经验提出更优方案；发布时它已在 55 个数学开放问题中的 29 个上刷新历史最好结果。

上一次数学更新是 7 月底的 sum-vs-difference 问题：7 月 29 日仓库宣布该问题被机器可检查地解决，最优指数恰为 2，永不达到但可任意逼近。7 月 30 日的称，这一构造由研究智能体 Hyra 与 Hy3 模型协作完成（"With help from our research agent Hyra and the Hy3 model"），论文见，完整证明在仓库。

本次四项新进展中，Blaschke–Lebesgue 结果于 8 月 17 日进入仓库，其余三项于 8 月 19 日进入，与推文同日。

三个结果带 Lean 4 证明，四道问题都未闭合

仓库 README 的新闻条目注明，8 月 19 日新增的三个结果都带有其有限与数值核心的 Lean 4 形式化（"each with a Lean 4 formalization of its finite and numerical core"）；Beurling–Ahlfors、Partial Hadamard 计数与交换子三个目录下均设有 lean/ 子目录。

交换子论文的脚注写明，Hyra 是一个 AI 研究智能体系统，证明源自 Hyra 的搜索运行，随附的仓库贡献记录了来源与 Lean 形式化的确切范围。

四个结果都是开放问题的推进而非终结：Meissner 最优值尚差 2.1% 未证；Iwaniec 猜想的系数 1 尚未达到；计数公式在端点指数 2 处未被声称；交换子代价在 O(log³) 与 Popa 的 log 下界之间仍有距离。

仓库 README 同时提醒，这些问题大多挂在公开、持续更新的榜单上，后来的条目可能从 Hyra 已发布的解出发继续刷新数字。纪录未必会停在 Hyra 名下太久。