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Anthropic 未发布 Claude 将黎曼 zeta 函数零点下界从 41.6% 推至 67.2%，一次 25.6 个百分点的跃升
2026 年 8 月 10 日，Anthropic 在宣布，其一个未发布的研究版 Claude 在黎曼猜想相关问题上取得进展：将黎曼 zeta 函数满足黎曼猜想的零点比例下界从 41.6% 提升至 67.2%。Claude 并未解决黎曼猜想本身——那需要证明 100% 的非平凡零点都落在临界线上——但 25.6 个百分点的跃升，已是解析数论领域多年未见的一次下界推进。
这次结果的触发者并非数学家，而是 Anthropic 员工、JavaScript 运行时 Bun 的作者 。他大约 8 天前在慢跑时想到让 Claude「认真试试黎曼猜想」。随后的尝试中，Claude 在 Claude Code 里协调约 60 个子智能体，用了一天半时间、消耗 3100 万输出 token，最终产出了一篇论文、一份 Lean 形式化证明，以及一个经过两位外部数论专家审阅的数学结果。
650 个失败的想法，然后「再试一次」
Sumner 给 Claude 的指令很开放：「对黎曼猜想认真试一试」，数学方向完全由模型自己决定。第一次尝试中，Claude 生成了 650 个想法，全部失败。Sumner 让 Claude 再试一次，这一次 Claude 花费一天半协调约 60 个子智能体——其中 2 个负责开发核心数学思路，13 个为这两个核心智能体贡献想法，30 个尝试开发新思路但未成功，13 个担任验证者交叉审查证明，剩下 2 个协助撰写初稿。
这些子智能体在 1.5 天内执行了 2400 条 shell 命令，编写了数百个 Python 脚本，对已知的 zeta 零点进行了数千次数值检验，并互相评审对方的工作。整个过程中 Sumner 的输入基本仅限于发送鼓励信息——主要是「继续」或「相信自己」的变体。Anthropic 在博客中写道，这些鼓励似乎帮助 Claude 克服了最初对自己能取得有意义进展的怀疑。
最初的提示里 Sumner 让 Claude 瞄准的是黎曼猜想本身，这个下界提升完全是意外副产品。得出结果后，Claude 自行启动了验证流程：让多个子智能体审查证明、搜索反例、从 arXiv 下载 54 篇论文确认该发现未被前人发表，并从头独立重新证明了自己的结果。Claude 还主动提出将发现写成论文，并建议由人类数论专家验证。
把正定和负定子空间一起处理：证明的技术路径
Claude 的证明建立在 Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 的一系列近期工作，以及 Bombieri 2000 年的一篇论文之上。Anthropic 的博客给出了简短的技术解释：Claude 构造了一个合适的函数空间，其上的二次型由 Weil 导出，正定子空间来自临界线上的零点，负定子空间来自临界线外的零点。关键一步是，Claude 利用一阶矩和二阶矩信息，直接写出了该二次型秩的一个不等式。
在解析数论中，通过素数对偶图景或 Hilbert 变换控制来成功计算这些矩信息并不令人意外。但 Anthropic 指出，将整个空间放在一起处理——同时考虑正定性和负定性，并允许二次型非对角——这一步使得 Claude 得以在重要前人工作的基础上完成这个结论。
Anthropic 同时明确表示，不认为 Claude 使用的方法能最终证明黎曼猜想本身。Claude 如何一步步得出结果的过程记录在一份独立的附录中。
从 1859 年到 41.6%，数学界推了几十年
黎曼猜想由 Bernhard Riemann 于 1859 年提出，是 Clay 数学研究所七大千禧年难题之一，悬赏 100 万美元。猜想断言黎曼 zeta 函数的所有非平凡零点都位于复平面上实部为 1/2 的临界线上——zeta 函数的每个零点都为素数序列贡献一层更精细的结构信息。
在无法直接证明或证否猜想的情况下，数学家们转向了多个相关方向。其中之一就是量化零点位于临界线上的最小比例：通过逐步改进下界常数，逼近「100% 都在线上」的目标。1974 年，Levinson 首次无条件证明了至少 34.74% 的零点在临界线上；到 2020 年，Pratt、Robles、Zaharescu 和 Zeindler 在 记录的前一最佳结果为约 41.7%。Anthropic 引用的前一纪录为 41.6%。
另一个相关方向是零点在临界线上的分布研究。1973 年，Montgomery 引入了一系列新技术，但这些技术假定了黎曼猜想成立。Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 近年发表的一系列工作使得 Montgomery 的技术可以在不假定猜想成立的情况下使用，Goldston 与 Suriajaya 在 中延续了这一路线，这为 Claude 提高下界常数提供了数学基础。
风险投资机构 Menlo Ventures 合伙人、Anthropic 投资者 在 X 上评论称，这是「自 2013 年有界素数间隔以来解析数论领域最大的成果」，并指出在此之前的 37 年间数学家仅将下界推进了 0.8 个百分点，而 Claude 一次推进了 25.6 个百分点。
两位外部专家审阅 + Lean 形式化验证
Anthropic 的两位数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 研究了 Claude 的工作以理解新结果及其与前述前人研究的关系，并为专家撰写了一份简洁陈述 Claude 证明的非正式笔记。
与此同时，Claude 与 Anthropic 员工 Eric Easley 合作，将结果以 Lean 语言形式化。Lean 是一种交互式定理证明器，形式化后的证明通过了标准验证工具 comparator 的检查。
Anthropic 还请两位该领域的外部专家——Brian Conrey 和 Dan Goldston——在短时间内审阅了论文。Goldston 本人正是 Claude 所借鉴的数篇关键论文的合作者之一，其与 Suriajaya 合作的近期论文中曾给出相近方向上的条件性结果。
「聪明但不算革命性」：数学界的初步回应
伦敦玛丽女王大学数学教授 在 X 上评价，Claude 的工作「聪明且有趣，但涉及的思路不算高度新颖」，证明本身「并没有让我们离证明黎曼猜想更近」。不过他也指出，鉴于问题的知名度，如果是一名人类数学家做出了这个结果，「肯定能发表在相当顶级的期刊上」。
前 Anthropic 成员、斯坦福物理学博士 则在 X 上提出了一个技术性观察：67.2% 是零点在临界线上渐近比例的一个陈述，但它对剩余约 1/3 的零点位置没有任何约束——因此「不直接有助于解决黎曼猜想」。
X 用户 按社区流传的 Fable 5 API 定价估算，3100 万输出 token 的成本约为 1550 美元。Jarred Sumner 本人则在推文中坦言自己至今「还不太确定这个结果到底意味着什么，但一些解析数论学家似乎很兴奋」。
Anthropic 在博文中强调，Claude 自己一开始也对这个发现持怀疑态度——可能是因为它从训练数据中学到了开放数学问题的难度以及 AI 模型的能力局限。但在收到鼓励性提示后，它得出了上述结果。博文结尾写道：「也许 Claude 和我们许多人一样，低估了 AI 进步的速度。」